Kelipatan dan Faktor Bilangan Lengkap Dengan Contoh Soal Dan Pembahasan

Halloo sahabatku semua. Pada kesempatan kali ini kita akan membahas Matematika dasar yaitu tentang Kelipatan dan Faktor Bilangan. Kelipatan dan faktor bilangan ini sudah mulai diajarkan di bangku kelas IV SD. Nah, supaya sahabat dapat memahami materi ini mari simak pembahasan berikut ini!

A. Faktor Bilangan

• Faktor bilangan adalah bilangan-bilangan yang dapat habis membagi bilangan lain.
  Contoh : bilangan 4 dapat habis dibagi oleh bilangan 1, 2 dan 4 dan berarti bilangan tersebut merupakan faktor bilangan dari 4.
• Faktor Prima suatu bilangan adalah bilangan prima yang terkandung dalam faktor bilangan tersebut.
  Contoh: sebelumya telah diketahui bahwa bilangan 4 memiliki faktor bilangan 1, 2, dan 4, tetapi yang hanya merupakan bilangan prima hanya angka 2. Jadi, faktor prima dari 4 adalah 2.
• Bilangan prima itu adalah bilangan yang tepat memiliki 2 faktor yaitu angka 1 dan angka itu sendiri.
  Contoh : 2, 3, 5, 7 ....

Perhatikan contoh di bawah ini untuk memahami cara menentukan faktor bilangan dan faktor prima dari suatu bilangan.

Contoh Soal!

Tentukan faktor bilangan dan faktor prima dari bilangan 10 dan 24!

Jawab:

Bilangan 10

Faktor bilangan = 1, 2, 5, 10

Faktor prima = 2

Bilangan 24

Faktor bilangan = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Faktor prima = 2 dan 3

Catatan:

Bilangan 1 bukan merupakan bilangan prima karena hanya memiliki satu faktor saja.

Bilangan 2 merupakan bilangan prima karena hanya memiliki dua faktor saja yaitu 1 dan 2.

Bilangan 3 juga merupakan bilangan prima karena hanya memiliki dua faktor saja yaitu 1 dan 3.

Bilangan 4 bukan merupakan bilangan prima karena 4 hanya memiliki faktor lebih dari dua yaitu 1, 2, dan 4.

B. Faktorisasi Prima

Faktorisasi prima adalah hasil perkalian semua bilangan prima.

Contoh:

Sebutkan faktorisasi bilangan 10, 12, 20, dan 30!

Jawab:

Untuk menuliskan faktorisasi bilangan dapat menggunakan pohon faktor seperti berikut.

Pohon Faktor 10 dan 12

Pohon Faktor 20 dan 30

Jadi:

Faktorisasi prima dari bilangan 10 adalah 2 x 5

Faktorisasi prima dari bilangan 12 adalah 2 x 2 x 3

Faktorisasi prima dari bilangan 20 adalah 2 x 2 x 5

Faktorisasi prima dari bilangan 30 adalah 2 x 3 x 5

C. Kelipatan Suatu Bilangan

Kelipatan suatu bilangan adalah bilangan yang merupakan hasil perkalian dari suatu bilangan tertentu dengan bilangan asli.

Contoh:

Kelipatan dari bilangan 2 adalah 2, 4, 6, 8, 10, ....

Kelipatan dari bilangan 3 adalah 3, 6, 9, 12, 15, 18, ....

Kelipatan dari bilangan 4 adalah 4, 8, 12, 16, 20, 24, ....

Kelipatan dari bilangan 5 adalah 5, 10, 15, 20, 25, 30, ....

Kelipatan dari bilangan 6 adalah 6, 12, 18, 24, 30, 36, ....

D. Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)

Faktor persekutuan terbesar (FPB) adalah faktor dari dua bilangan atau lebih yang bernilai sama dan paling besar.

Contoh I :

Tentukan FPB dari 18 dan 24!

Jawab:

Cara I :

Dengan faktor persekutuan:

Faktor 18 = 1, 2, 3, 6, 9, 18,

Faktor 24 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Faktor persekutuan dari bilangan 18 dan 24 adalah 1, 2, 3, 6, 

Faktor persekutuan terbesar (FPB) dari bilanga 18 dan 24 adalah 6

Cara II :

Dengan pohon faktor (faktorisasi prima)

Pohon Faktor 18 dan 24

Faktorisasi prima dari bilangan 18 adalah 2 x 3 x 3 = 2 x 3^2

Faktorisasi prima dari bilangan 24 adalah 2 x 2 x 2 x 3 = 2^3 x 3

Untuk menentukan FPB dari 18 dan 24 adalah dengan mengalikan faktor yang sama dan memiliki pangkat terkecil, yaitu 2 dan 3.

Jadi, FPB dari bilangan 18 dan 24 adalah 2 x 3 = 6

Cara III :

Yang kita gunakan sebagai FPB adalah faktor prima yang dapat membagi kedua bilangan di atas yaitu angka 2 dan 3 seperti yang dirangkai pada gambar berikut.

Cara Membagi Langsung Kedua Bilangan

Jadi, FPB dari bilangan 18 dan 24 adalah 2 x 3 = 6

Cara IV :

Cara ini adalah cara yang paling mudah, yaitu dengan membagi kedua bilangan di atas dengan satu bilangan sebesar mungkin sehingga langsung dihasilkan bilangan faktor prima. Bilangan 18 dan 24 dapat langsung dibagi 6. Agar lebih memahami, kamu dapat melihat cara berikut!

Cara Mudah Menentukan FPB dan KPK

Jadi, FPB dari bilangan 18 dan 24 adalah yang tegak yaitu 6.

Contoh II :

Tentukan FPB dari bilangan 18, 24, dan 36 menggunakan keempat cara!

Jawab :

Cara I :

Dengan faktor persekutuan :

Faktor 18 = 1, 2, 3, 6, 9, 18

Faktor 24 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Faktor 36 = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

Faktor persekutuan 18, 24, dan 36 adalah 1, 2, 3, dan 6 dan yang terbesar adalah 6 sehingga 6 menjadi FPB dari ketiga bilangan di atas.

Cara II :

Dengan pohon faktor

Pohon Faktor 18, 24, dan 36

Diantara faktorisasi prima yang sama berpangkat kecil adalah 2 dan 3. Jadi, FPB dari 18, 24, dan 36 adalah 2 x 3 = 6.

Cara III :

FPB dari 18, 24, dan 36 adalah 2 x 3 = 6

Cara IV :

E. Kelipatan Persekutuan Terkecil

Kelipatan persekutuan terkecil adalah kelipatan persekutuan dari dua atau lebih bilangan yang paling kecil.

Menentukan KPK dengan Kelipatan Persekutuan

Contoh I :

Tentukan KPK dari 4 dan 5!

Jawab :

Kelipatan 4 = 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28

Kelipatan 5 = 5, 10, 15, 20, 25, 30

Karena kelipatan 4 dan 5 bersama-sama pertama kali bertemu pada bilangan 20. Oleh karena itu bilangan 20 adalah kelipatan persekutuan terkecil.

  Jadi, KPK dari 4 dan 5 adalah 20.

Contoh II :

Tentukan KPK dari 6 dan 9!

Jawab : 

Kelipatan 6 = 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, ....

Kelipatan 9 = 9, 18, 27, 36, 45, 54, ....

Kelipatan 6 dan 9 memiliki persekutuan pada bilangan 18, 36, dan 54. Maka dari itu, 18 adalah kelipatan yang paling kecil. Sehingga KPK dari 6 dan 9 adalah 18.

Menentukan KPK dengan Faktorisasi Prima

Contoh :

Tentukan KPK dari 12 dan 15!

Jawab :

Langkah menentukan KPK dengan pohon faktor

• Dengan pohon faktor, buat faktorisasi primanya
• Kalikan semua faktor primanya
• Jika terdapat faktor yang sama, ambil yang memiliki pangkat terbesar.

Faktorisasi Prima dari bilangan 12 = 2 x 2 x 3

Faktorisasi Prima dari bilangan 15 = 3 x 5

Langkah selanjutnya adalah mengalikan semua faktor bilangan primanya. Karena kedua bilangan mempunyai faktor yang sama, yaitu 3 dan mempunyai pangkat yang sama, yaitu 3^1 maka cukup diambil salah satu.

Sehingga KPK dari  bilangan 12 dan 15 adalah 2^2 x 3 x 5 = 4 x 3 x 5 = 60

F. Menentukan FPB dan KPK bersamaan

Untuk mencari FPB dan KPK secara bersamaan, perhatikan langkah-langkah di bawah ini!

Mencari FPB

Mengalikan faktor yang sama dan memiliki pangkat terkecil dari faktorisasi prima dua bilangan atau lebih.

Mencari KPK 

Mengalikan semua faktor dari faktorisasi prima dua bilangan atau lebih, jika terdapat faktor yang sama maka ambil yang memiliki pangkat terbesar.

Contoh Soal :

Tentukan FPB dan KPK dari  bilangan 30, 36, dan 42!

Jawab :

Faktorisasi Prima dari :

30 adalah 2 x 3 x 5

36 adalah 2 x 2 x 3 x 3 = 2^2 x 3^2

42 adalah 2 x 3 x 7

FPB dari 30, 36, 42, = 2 x 3 = 6

KPK dari 30, 36, 42 adalah 2^2 x 3^2 x 4 x 7 = 1260